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简单学一下，学的晕头转向，笨蛋是这样的……学不明白真滴学不明白
😶🌫️Gröbner basis
✔️定义
对于一个多项式环，Gröbner basis是该环中的一组多项式。通过这组多项式，可以生成一个理想，即由这组多项式的所有线性组合构成的集合。这个理想包含了原始多项式环中的所有多项式，并且满足一些特定的性质。
给定一个多项式环，Gröbner basis是该环中的一组多项式，满足以下性质：
- 生成理想：Gröbner basis生成一个理想，即该理想中的任何多项式都可以通过Gröbner basis中的多项式进行有限步操作得到。
- 标准形式：对于Gröbner basis中的每个多项式，其在该理想中的标准形式（即最高次项系数为1）也属于Gröbner basis。
具体而言
设F = {f1, ..., fn}是一个多项式环R = k[x1, ..., xn]上的多项式集合，其中k是一个域。对于由F生成的理想，Gröbner基是一个集合G = {g1, ..., gm}，满足以下条件：
- 由G生成的理想与由F生成的理想相同，即Ideal(G) = Ideal(F)。
- 对于F中的任意多项式f，存在G中的多项式g，使得g的首项式能整除f的首项式。
第二个条件被称为“约化性质”，它确保了任何F中的多项式都可以通过反复减去G中的多项式的倍数来约化为零。
主要应用
用于解多项式方程，计算多项式最大公因子，进行多项式除法带余数，以及解多项式方程组
😣我的理解
生成的理想：多个多项的线性组合
Gröbner基是基于原来多项式集合F上拓展的更多的多项式的集合G，满足特定性质（对于F中的任意多项式f，存在G中的多项式g，使得g的首项式能整除f的首项式），便于复杂多项式的化简
👻 应用
多元多项式方程组
求解F，转化为求解G
Hilbert's Nullstellensatz
多元多项式方程组无解的情况
定理
先了解一个概念：standard monomial为不在首项生成的理想里面的单项式。
代数基本定理：
多元多项式方程组解的个数 等于standard monomial的个数。
例子
🤗 crypto
DASCTF 2023 & 0X401七月暑期挑战赛ezAlgebra
题目
利用groebner_basis()求解