type
status
date
summary
password
category
slug
icon
线性代数全忘光了,感觉巨难无比，呜呜呜重开线代，每天说一百遍我爱密码！！！
📑目录
🤲格密码🥲基础知识向量空间欧式空间😶🌫️格格的定义两个向量来定义一个格格具有以下特点：基变更格基相互转化格的行列式格的密度向量范数基础区域 FHadamard 不等式对偶格格的对偶空间：格与对偶格📎 参考文章
🤲格密码
🥲基础知识
向量空间
欧式空间
欧式空间就是二维空间、三维空间以及继承三维空间定理的N维空间。
欧式几何的关键就在于角度、长度的度量，因此需要在抽象的向量空间中引入长度、角度的概念。
😶🌫️格
格的定义
我的理解：
假设一个格拥有基向量{b1,b2,b3……bn}。那么这个Lattice就是它的基向量的任意线性组合的集合。通俗地说，格可以理解为一种规则或者模式，用于在空间中排列和组织事物。我们可以将格想象成一张网格，其中每个交叉点都代表一个点或者一个向量。在更高维的空间中，格由更多的向量所确定，这些向量决定了格的形状和结构。格中的点或向量可以是任意的整数倍，而且没有空隙，可以无限接近任意点。
两个向量来定义一个格
在二维空间中，我们可以用两个向量来定义一个格。这两个向量决定了格的方向和大小，我们可以通过沿着这两个向量的整数倍来生成格中的所有点。
两个向量所组成的格是两个向量所围成的空间。这个空间是由两个向量的线性组合所生成的，包含了两个向量上的所有点。
两个向量所组成的格可以是空间上的所有整数点，也可以是空间上的一部分整数点，或者甚至不包含任何整数点。这取决于两个向量的选择和它们的线性关系。如果两个向量是整数向量(向量的分量都是整数的向量)且线性独立(指向量集合中的向量不能通过线性组合得到零向量,即向量集合中的任何一个向量都不能表示为其他向量的线性组合)，那么它们所组成的格将包含空间上的所有整数点。但如果两个向量是实数向量或者线性相关，那么它们所组成的格可能只包含一部分整数点，或者不包含任何整数点。
格具有以下特点：
- 封闭性：格中的任意两个向量的线性组合仍然在格中。
- 整数性：格中的所有向量的坐标都是整数。
- 稠密性：格中的向量之间没有间隙，可以无限接近任意向量。
基变更
基底的变换或称基的变换（change of basis）在线性代数中，n 维向量空间的基是 n 个向量 α1, ..., αn 的序列，带有所有这个空间中的向量可以唯一的表达为基向量的线性组合的性质。因为经常需要处理一个向量空间的多于一个的基，在线性代数中能够轻易的变换向量的逐坐标表达，和变换关于一个基的线性映射到关于另一个基的等价表达是根本重要的。这种变换叫做基变更。
（个人理解）
相同的格可以用不同的基底表示，基变更就是更换格的基底，但是格不变，只是基底变了。
格基相互转化
格L的任意两个基可以通过在左边乘上一个特定的矩阵来相互转化，这个矩阵由整数构成，且它的行列式为 ±1
格的行列式
令B是格L的基矩阵（每个基是B的列向量），则格L的行列式Determinant定义为det(L)=|det(B)|。尽管格L可以有不同的基，但是对应的det(L)值却是相同。
从几何上来说，det(L)代表格L的基本平行体的体积，因此格L的不同的基其对应的基本平行体的体积是相等的。所以det(L)是独立于所选择的基，是格L的不变量。
❗
格的密度
dim（L） 格的维度，即格的基中的向量个数
用一个Lattice的Determinant来衡量这个格的点阵分布的密度
直觉上来说，det(L)的值与格L中点的密度成反比，即det(L)的值越大，格L中点越稀疏。
向量范数
向量范数是用来衡量向量的大小的一种数学概念。它是一个实值函数，将向量映射到非负实数。2-范数（也称为欧几里德范数或L2范数）是向量空间中向量的度量，表示为 ,其中x向量。它是指向量中每个元素的平方和再开方
基础区域 F
一个格L的任何基础区域都有着相同的 “体积”，基础区域F的n维体积称为L的行列式，记为detL
数学定义较为抽象，我们可以直观地用“周期性”的思想来考虑这个问题：平移这样的一个“基础区域”，我们最终能得到整个格（二维情况下的整个平面）。基础区域通常用于描述一个格在空间中的基本重复单元。格是由整数线性组合生成的离散子群，而基础区域是该离散子群在空间中的一个最小的不相交区域。
Hadamard 不等式
L是一个格，任意一个基和基础区域 F ，有
det(L) = vol（F）≤||v1|| ||v2|| .....||vm|| ，基向量越接近垂直，等式越成立，vol（F）是F的体积
对偶格
格的对偶空间：
空间中的每一个元素都是一个把这个格中的元素映射到整数空间中的线性变换，一般来说我们可以用一个向量来表达线性变换。
也就是说一个Lattice的对偶空间就是一组向量，而这些向量乘以格中的任意格点，都可以得到一个Z中的元素。
这些对偶的向量，乘以任意Lattice中的格点向量，都能得到一个整数。这些向量本身就组成了另一个Lattice，我们把这个新的Lattice成为对偶格（Dual Lattice）。
格与对偶格
我们可以把对偶格理解成是一个格的“倒数”，因为很多时候它们之间的关系是反过来的
格与对偶格之间唯一需要满足的就是任意两个格点之间相乘，乘积一定是在z中的整数。并且只有相乘这个操作有意义，加法是没有几何意义的。
📎 参考文章
零只脚跨入格密码大门