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继续学习格密码，今天是身体加精神一起痛苦……
🐳格密码基础🕊️连续最小长度👻Minkowski凸集定理（Convex body theorem）📑Blichfeldt引理👀凸集🫢Minkowski凸集定理定义🥹Minkowski凸集定理推论施密特正交化Gram-Schmidt Orthogonalization正交化 GSO定义❓如何理解施密特正交？二维空间三维空间N维空间例子📎 参考文章
🐳格密码基础
🕊️连续最小长度
👻Minkowski凸集定理（Convex body theorem）
📑Blichfeldt引理
Blichfeld's Theorem:
选取一个集合，只要所取集合的体积大于行列式，这里面一定有两个点，它们的差值是一个格点。注意，集合体积不能等于行列式，因为基本区域中有且只有一个格点（回忆基本区域的定义）
👀凸集
一个凸集是指其中的任意两点之间的线段都在该集合内部。简而言之，凸集是一个集合，其中任意两点之间的连线都在该集合内。
🫢Minkowski凸集定理定义
在中选取一个关于原点对称的凸集，如果它的体积大于格的基本区域的体积乘与,那么S中一定包含一个非零的格点。
在整数格中非常好理解，因为以原点出发到所有下一个点这段距离构成的空间，恰好就是，所以说任何凸集（集合的表面不能有凹陷）只要体积大于，那就一定会溢出这段空间，进而覆盖某个非0的格点。
换成一个不规则的Lattice，即在原有的上叠加线性变换，这个定理还是成立的。
🤔理解如下：
定理的应用
🥹Minkowski凸集定理推论
简单来说，L的最短向量，最长不会超过
如果说Minkowski第一定理给出了对于最短向量的一个上限的话，第二定理给出了对于其他最短向量的一个取值上限。
施密特正交化Gram-Schmidt Orthogonalization正交化 GSO
定义
在一个平面，或者三维空间中，任意一点都可以被坐标系表示出来。而我们更喜欢的是单位直角坐标系，因为在一个单位直角坐标系中，任意一个向量的坐标分量，通过简单的投影就可以搞定。因此，如何找到欧式空间的一个“直角坐标系”，变得非常重要。施密特正交化法就告诉我们了一种把“任意坐标系”变为“直角坐标系”的方法。
❓如何理解施密特正交？
首先需要理解一个向量2在另外一个向量1的投影公式。只要利用正交的定义，就很容易知道2在1的投影向量
二维空间
平面上任意两个不共线的向量都可以构成平面的一个坐标系(也就是一组基)，我们可以利用这两个向量之间的投影得到两个正交的向量
三维空间
N维空间
要得到一个单位直角坐标系，或者单位正交基，还需要对得到的正交向量逐个单位化即可。
例子
假设我们拥有一个格的基B={b1,b2……bn},这两个基向量是不垂直的。接下来，我们尝试找到一组互相垂直的基
📎 参考文章
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